
\prob{0066}{判别式与根}

若$b^2 - 4ac$是关于$x$的二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的一个实根，求$ab$的取值范围。
\problabels{yellow/代数, green/取值范围问题}

\ans{$ab \le\sfrac18$}

\subsection{代入解方程}

基本思路：将$b^2 - 4ac$代入方程，再解关于$c$的方程。

将$b^2 - 4ac$代入方程得

\begin{align*}
  16a^3c^2 - 8a^2b^2c + ab^4 - 4abc + b^3 + c &= 0 \\
  16a^3c^2 + (1 - 8a^2b^2 - 4ab)c + (ab^4 + b^3) &= 0 \\
\end{align*}

将其看作关于$c$的二次方程，则有

\begin{align*}
  \Delta &= (1 - 8a^2b^2 - 4ab)^2 - 64a^3(ab^4 + b^3) \\
  &= 1 - 8ab \ge0 \\
\end{align*}

故$ab \le\sfrac18$。
